El diagrama Parábola-Rectángulo del hormigón

El diagrama Parábola-Rectángulo del hormigón

Cuando realizamos cálculos de secciones de hormigón sometidas a solicitaciones normales necesitamos modelizar la respuesta tensional del hormigón. Para ello podemos trabajar con varios diagramas, eligiendo entre los que nos permiten las diferentes normas de hormigón. La mayoría, como es el caso de la instrucción EHE española, contemplan el diagrama Parábola-Rectángulo  y el diagrama simplificado Rectangular. Sin duda, el diagrama que mejor se adapta  al comportamiento de dicho material, tal y como se ha demostrado mediante ensayos experimentales es el del Parábola Rectángulo, que supone que las tensiones se pueden describir en función de las deformaciones mediante una función que posee un tramo parabólico y otro "rectangular" (constante).

El cálculo manual con dicha ley de comportamiento (extraer fuerzas y momentos resultantes) es tedioso por lo que se deja su uso a los programas informáticos de cálculo, en los que el trabajo pesado lo realiza el ordenador, o bien se suele remitir al calculista a literatura especializada que tabula los valores de la integral que define la resultante y su momento en función de ciertos parámetros (ver por ejemplo el libro Hormigón Armado de Jiménez Montoya, Garcia Meseguer y Morán Cabré. Ed. Gustavo Gili).

En general, la gran mayoría de nosotros, como alumnos de las asignaturas de estructuras puede que estemos más acostumbrados a tratar con el diagrama rectangular que consiste en una simplificación del Parábola-Rectángulo de manera que mediante un simple rectángulo, (figura con la que estamos muy familiarizados y que posee fácil cálculo de su resultante y por tanto de su momento resultante), consigamos aproximadamente las mismas soluciones.

Incluso si calculábamos estructuras hace no muchos años y tratamos con la antigua norma EH-91, conozcamos el método del momento tope, invención del insigne Eduardo Torroja, que utilizaba un diagrama rectangular algo diferente al de la actual EHE y con el que se resolvían todas las fórmulas de cálculo a solicitaciones normales en aquella norma.

Nosotros aquí simplemente vamos a deducir la función del diagrama de Tensión-Deformación de cálculo de la Parábola-Rectángulo según la instrucción EHE de una forma intuitiva matemática y geométrica. Esta ley nos servirá para posteriormente plantear las ecuaciones de equilibrio en una sección cualquiera.

Para ello partiremos del siguiente gráfico que podéis encontrar en la norma, en su artículo 39.5 y en la fig. 39.5.a, en el que como se puede observar destacan dos puntos importantes:

- El correspondiente a la deformación de rotura del hormigón a compresión (ε_c=0,002).

- El correspondiente a la deformación de rotura del hormigón a flexión (ε_c=0,0035).

Como se observa, ambas comparten la misma abcisa, σ_c=0,85 f_cd. El valor corresponde a la resistencia de cálculo del hormigón a compresión (f_cd) afectado por un coeficiente que tiene en cuenta los efectos de cansancio del hormigón en la resistencia a compresión (0,85).

Diagrama parábola-rectángulo del hormigón

Para hallar el diagrama definimos como positivas las deformaciones de acortamiento, y las tensiones de compresión, y partimos de la base de que el hormigón no es capaz de soportar tracciones. Queda:

1.      Tramo parabólico: la parábola se define en el intervalo de deformaciones [0 , 0,002), mediante la expresión genérica de la cónica parábola:
a*ε_c² +b*ε_c + c

      debe cumplirse

- f(0)=0, o lo que es lo mismo, la curva pasa por el origen de coordenadas.

- f(0,002)=0,85 f_cd, lo que significa que para la deformación del 2 por mil, la tensión resultante del hormigón es igual a 0,85 f_cd. (f_cd es la resistencia de cálculo del hormigón a compresión)

- f’(0,002)= 0, es decir, no existen puntos angulosos en el encuentro entre el tramo recto y el parabólico por lo que la pendiente en el extremo es horizontal.

Mediante estas tres condiciones y resolviendo el sistema de ecuaciones resultante se llega a la parábola siguiente:

a= -212500, b= 850, c= 0

f(ε_c)= -850*f_cd*ε_c (250*ε_c+1)

2.      Tramo rectangular: el tramo rectangular está definido en [0,002 , 0,0035] y se halla directamente a partir de la condición de que para toda deformación mayor o igual al 2 por mil la tensión del hormigón vale siempre 0,85 f_cd.

f(ε_c)= 0,85*f_cd

Como sabemos, a medida que el estado de solicitaciones en la sección se va asemejando más a la compresión simple, el diagrama Parábola-Rectángulo va “perdiendo” parte del diagrama parabólico y “ganando” tramo rectangular. El caso límite de la compresión simple supone un rectángulo con altura 0,85 f_cd, donde todas las fibras alcanzan la deformación de 0,002 y por tanto la sección es de rotura (ver art. 42.1.3 de la EHE sobre los dominios de deformación).

En el caso opuesto estarían los planos pertenecientes al dominio 2, más cercanos a su límite con el dominio 1 (cerca de la profundidad de la fibra neutra x=0), en los que la fibra más comprimida del hormigón no ha alcanzado todavía la deformación  de 0,002 por lo que nos encontraremos diagramas que sólo constan del tramo parabólico ya que no llegan a alcanzar el límite de 0.85fcd.

  
Diagrama sólo rectángulo del hormigón en situación de compresión simple en límite del dominio 5

Diagrama sólo parábola del hormigón en situación cercana al límite del dominio 2   

Similares diagramas existen en otros códigos. Como ejemplo, el Eurocódigo 2 "Proyecto de estructuras de hormigón" proporciona una expresión similar:

f(ε)= 1000*α*f_cd*ε_c (250*ε_c+1), para el tramo parabólico y

f(ε)= α*f_cd, para el tramo rectangular,

que sólo se diferencia en que tanto las tensiones como las deformaciones del hormigón son consideradas negativas, y en que el factor que tiene en cuenta el cansancio del hormigón (α ) no aparece predeterminado (si bien ser recomienda en la misma norma utilizar el 0,85).

 
Diagrama Parábola rectángulo propuesto por el Eurocódigo 2, Parte I-I (Art. 4.2.1.3.3)